докажите: (cos⁴α - sin⁴α)/((1 - sinα)(1 + sinα)) + 2tg²α = 1/cos²α

Давайте разберем и докажем выражение:

Шаг 1. Упростим дробь

Первая часть выражения — это дробь:

Применим формулу разности квадратов для числителя:

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, то числитель упрощается до:

Теперь упростим знаменатель. Используем формулу разности квадратов для выражения в знаменателе:

Таким образом, дробь становится:

Делим каждый член числителя на $\cos^2\alpha$:

Таким образом, первая часть выражения:

Шаг 2. Рассмотрим вторую часть выражения

Вторая часть выражения — это $2\tan^2\alpha$. Запишем её так:

Шаг 3. Соберем все вместе

Теперь, объединяя обе части выражения, получаем:

Шаг 4. Преобразуем правую часть уравнения

Правая часть уравнения — это $\frac{1}{\cos^2\alpha}$, что равно $1 + \tan^2\alpha$ по известной тригонометрической идентичности:

Шаг 5. Заключение

Таким образом, левая часть выражения равна правой, то есть:

Значит, исходное уравнение доказано.