Сколько корней уравнения tg3x=1 принадлежит промежутку [0;π]?

Для того чтобы решить уравнение $\tan(3x) = 1$ на промежутке $[0; \pi]$, нужно найти все значения $x$, для которых это равенство выполняется.

1. Решение уравнения $\tan(3x) = 1$:

   Вспомним, что $\tan(\theta) = 1$ при $\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ — целое число. То есть для нашего уравнения $\tan(3x) = 1$, аргумент функции тангенса $3x$ должен быть равен $\frac{\pi}{4} + n\pi$.

   Таким образом, можно записать:

   $$3x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2. Найдем все значения $x$, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$:

   Разделим обе части уравнения на 3:

   $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{3}$$

   Теперь определим, при каких значениях $n$ полученное значение $x$ лежит в интервале $[0; \pi]$.

   • Для $n = 0$: $x = \frac{\pi}{12}$

   • Для $n = 1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

   • Для $n = 2$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

   • Для $n = 3$: $x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$, что выходит за пределы интервала $[0; \pi]$.

   Таким образом, значения $x$, удовлетворяющие уравнению на промежутке $[0; \pi]$, это $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}$.

3. Ответ:

   На промежутке $[0; \pi]$ у уравнения $\tan(3x) = 1$ есть три корня.