Число целых решений неравенства log₀.₅(x-2) ≥ -2 равно

Чтобы решить неравенство $\log_{0.5}(x - 2) \geq -2$, начнем с преобразования логарифмического неравенства в более удобную форму.

Шаг 1: Переведем логарифмическое неравенство в экспоненциальную форму

Логарифм с основанием $0.5$ можно переписать как:

Так как $0.5^{-2} = 4$, получаем:

Шаг 2: Найдем решение равенства

Решим это уравнение для $x$:

Теперь мы знаем, что при $x = 6$ выражение $\log_{0.5}(x - 2)$ равно $-2$. Переходим к анализу неравенства.

Шаг 3: Анализ неравенства $\log_{0.5}(x - 2) \geq -2$

Заметим, что логарифм с основанием $0.5$ является убывающей функцией. Это значит, что для значений $x > 6$ логарифм будет давать значения, меньшие, чем $-2$, а для значений $x < 6$ – больше, чем $-2$.

Так как $\log_{0.5}(x - 2)$ убывает, то неравенство $\log_{0.5}(x - 2) \geq -2$ выполняется при $x \leq 6$.

Шаг 4: Учитываем область определения

Логарифм с основанием $0.5$ определен только для положительных аргументов. То есть, необходимо, чтобы:

Таким образом, область допустимых значений для $x$ — это $x > 2$.

Шаг 5: Итоговый ответ

Теперь мы знаем, что решение неравенства $\log_{0.5}(x - 2) \geq -2$ будет включать все значения $x$ из интервала $(2, 6]$.

Число целых решений этого неравенства – это целые числа, которые принадлежат интервалу $(2, 6]$, то есть $3, 4, 5, 6$.

Ответ: 4 целых решения.