корень из (3 - х - х²) = х

Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{3 - x - x^2} = x$, давайте шаг за шагом преобразуем его.

1. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

   $$\left(\sqrt{3 - x - x^2}\right)^2 = x^2$$

   Это даёт:

   $$3 - x - x^2 = x^2$$

2. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

   $$3 - x - x^2 - x^2 = 0$$

   Упрощаем:

   $$3 - x - 2x^2 = 0$$

3. Преобразуем уравнение в стандартную форму квадратного уравнения:

   $$-2x^2 - x + 3 = 0$$

   Умножим обе стороны на -1 для удобства:

   $$2x^2 + x - 3 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$:

   $$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

5. Находим корни уравнения по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$

6. Проверяем полученные корни в исходном уравнении, так как при возведении в квадрат могут появляться extraneous решения (ложные корни).

   • Для $x = 1$:
     Подставляем в исходное уравнение:

     $$\sqrt{3 - 1 - 1^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3 - 1 - 1} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} = 1$$

     Это верно, значит $x = 1$ — решение.

   • Для $x = -\frac{3}{2}$:
     Подставляем в исходное уравнение:

     $$\sqrt{3 - \left(-\frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = -\frac{3}{2}$$

     Это выражение приводит к отрицательному числу под квадратным корнем, что невозможно. Следовательно, $x = -\frac{3}{2}$ — не является решением.

Ответ: Решением уравнения является $x = 1$.