В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью p=0,6. Найдите вероятность того, что в серии из пяти испытаний будет 3 успеха.

Для решения задачи, связанной с испытаниями Бернулли, можно использовать формулу для вероятности возникновения $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях, которая описывается распределением Бернулли (или биномиальным распределением).

Формула для вероятности $P(k)$ получения $k$ успехов из $n$ испытаний выглядит так:

где:

• $\binom{n}{k}$ — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается как $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$,

• $p$ — вероятность успеха в одном испытании,

• $n$ — количество испытаний,

• $k$ — количество успехов, для которых мы ищем вероятность.

В данной задаче:

• $p = 0,6$,

• $n = 5$,

• $k = 3$.

Теперь подставим все значения в формулу:

1. Сначала находим биномиальный коэффициент:

2. Теперь находим степени вероятностей:

3. Подставляем все в формулу:

Таким образом, вероятность того, что в серии из пяти испытаний будет 3 успеха, равна 0,3456 или 34,56%.