Решите уравнение с неизвестными степенями: \( 9^x + 4^{x+1,5} = 6^{x+1} \)

Для решения уравнения $9^x + 4^{x+1,5} = 6^{x+1}$, начнём с преобразования оснований в степени простых чисел:

1. $9 = 3^2$, поэтому $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.

2. $4 = 2^2$, поэтому $4^{x+1,5} = (2^2)^{x+1,5} = 2^{2(x+1,5)} = 2^{2x + 3}$.

3. $6 = 2 \cdot 3$, поэтому $6^{x+1} = (2 \cdot 3)^{x+1} = 2^{x+1} \cdot 3^{x+1}$.

Теперь подставим эти преобразования в исходное уравнение:

Это уравнение имеет экспоненциальные функции, и его можно решить несколькими способами. Однако, для простоты, попробуем найти возможные целочисленные решения, подставив разные значения для $x$.

Подставим $x = 0$:

• Левая часть: $3^{2 \cdot 0} + 2^{2 \cdot 0 + 3} = 3^0 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.

• Правая часть: $2^{0+1} \cdot 3^{0+1} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Значение при $x = 0$ не удовлетворяет уравнению.

Подставим $x = 1$:

• Левая часть: $3^{2 \cdot 1} + 2^{2 \cdot 1 + 3} = 3^2 + 2^5 = 9 + 32 = 41$.

• Правая часть: $2^{1+1} \cdot 3^{1+1} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Значение при $x = 1$ не удовлетворяет уравнению.

Подставим $x = 2$:

• Левая часть: $3^{2 \cdot 2} + 2^{2 \cdot 2 + 3} = 3^4 + 2^7 = 81 + 128 = 209$.

• Правая часть: $2^{2+1} \cdot 3^{2+1} = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$.

Значение при $x = 2$ не удовлетворяет уравнению.

Подставим $x = -1$:

• Левая часть: $3^{2 \cdot (-1)} + 2^{2 \cdot (-1) + 3} = 3^{-2} + 2^1 = \frac{1}{9} + 2 = 2,1111$.

• Правая часть: $2^{-1+1} \cdot 3^{-1+1} = 2^0 \cdot 3^0 = 1$.

Значение при $x = -1$ не удовлетворяет уравнению.

Подставим $x = -2$:

• Левая часть: $3^{2 \cdot (-2)} + 2^{2 \cdot (-2) + 3} = 3^{-4} + 2^{-1} = \frac{1}{81} + \frac{1}{2} \approx 0,5006$