Решить неравенство. корень из -x>=x

Для того чтобы решить неравенство $\sqrt{-x} \geq x$, сначала определим область допустимых значений для выражения $\sqrt{-x}$.

1. Определение области допустимых значений:

   Корень из числа существует только для неотрицательных значений аргумента. То есть, для $\sqrt{-x}$ аргумент $-x$ должен быть неотрицательным:

   $$-x \geq 0$$

   Это означает, что:

   $$x \leq 0$$

   Таким образом, область допустимых значений для $x$ — это $x \leq 0$.

2. Решение неравенства:

   Теперь решим неравенство $\sqrt{-x} \geq x$, но с учётом того, что $x \leq 0$.

   Для этого возведём обе части неравенства в квадрат. Так как $x$ отрицательно, возведение в квадрат не изменит знак неравенства:

   $$(\sqrt{-x})^2 \geq x^2$$

   Это даёт:

   $$-x \geq x^2$$

   Переносим все члены на одну сторону:

   $$x^2 + x \leq 0$$

   Это квадратное неравенство. Найдём его корни, решив уравнение $x^2 + x = 0$:

   $$x(x + 1) = 0$$

   Корни уравнения: $x = 0$ и $x = -1$.

3. Анализ знаков:

   Для квадратного неравенства $x^2 + x \leq 0$ рассматриваем интервалы, определённые корнями $x = -1$ и $x = 0$: $(- \infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +\infty)$.

   • На интервале $(- \infty, -1)$ выражение $x^2 + x$ положительно.

   • На интервале $(-1, 0)$ выражение $x^2 + x$ отрицательно или равно нулю.

   • На интервале $(0, +\infty)$ выражение $x^2 + x$ положительно.

   Поэтому решение неравенства $x^2 + x \leq 0$ — это интервал $[-1, 0]$.

4. Окончательное решение:

   С учётом того, что изначально было ограничение $x \leq 0$, решение неравенства $\sqrt{-x} \geq x$ — это интервал:

   $$[-1, 0]$$