Какое наименьшее количество идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 9?

Ответ: 6.

Почему достаточно 6?
Рассмотрим делимость на 3. В любых шести подряд идущих числах ровно два числа кратны 3 (остатки по модулю 3 распределяются как $0,1,2,0,1,2$ в некотором порядке). Если ни одно из них не кратно 9, то каждое из этих двух даёт по одному множителю 3, а значит их произведение кратно $3^2=9$. Если одно из них кратно 9 — тем более произведение кратно 9. Следовательно, произведение любых 6 подряд идущих чисел делится на 9.

Почему 5 недостаточно?
Контрпример: $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120$, а 120 на 9 не делится.

Значит, наименьшее количество — 6.