Докажите, что для любых натуральных чисел m и n значение выражения (m - n)mn делится на 2.

Для доказательства того, что выражение $(m - n)mn$ делится на 2 для любых натуральных чисел $m$ и $n$, давайте рассмотрим два случая:

1. Если $m$ и $n$ оба четные:

   • Пусть $m = 2k$ и $n = 2l$, где $k$ и $l$ — натуральные числа.

   • Тогда выражение $(m - n)mn$ принимает вид:

     $$(m - n)mn = (2k - 2l)(2k)(2l) = 2(k - l) \cdot 2k \cdot 2l = 8(k - l)kl.$$

   • Очевидно, что это выражение делится на 2, поскольку в нем есть множитель 8, который делится на 2.

2. Если одно из чисел $m$ или $n$ четное, а другое нечетное:

   • Пусть без потери общности $m$ — четное, а $n$ — нечетное. Тогда $m = 2k$, а $n = 2l + 1$ для некоторых $k$ и $l$.

   • Рассмотрим выражение:

     $$(m - n)mn = (2k - (2l + 1))(2k)(2l + 1) = (2(k - l - 1)) \cdot 2k \cdot (2l + 1).$$

   • Замечаем, что $2(k - l - 1)$ — четное число, следовательно, выражение $(m - n)mn$ обязательно делится на 2.

3. Если оба числа $m$ и $n$ нечетные:

   • Пусть $m = 2k + 1$ и $n = 2l + 1$, где $k$ и $l$ — натуральные числа.

   • Тогда выражение $(m - n)mn$ становится:

     $$(m - n)mn = ((2k + 1) - (2l + 1)) \cdot (2k + 1) \cdot (2l + 1) = (2(k - l)) \cdot (2k + 1) \cdot (2l + 1).$$

   • Тут $2(k - l)$ — четное число, поэтому выражение делится на 2.

Таким образом, во всех случаях выражение $(m - n)mn$ делится на 2, независимо от того, четные или нечетные $m$ и $n$.