Геометрическая прогрессия. Найти b₁ и q, если b₃=1; S₃=7

Для решения задачи, связанной с геометрической прогрессией, нужно использовать формулы для общего члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Дано:

• $b_3 = 1$

• $S_3 = 7$

Формулы:

1. Общий член геометрической прогрессии:

   $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

   Где:

   • $b_1$ — первый член прогрессии,

   • $q$ — знаменатель прогрессии (отношение между любыми двумя последовательными членами).

2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

   $$S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{(при } q \neq 1\text{)}$$

   Где:

   • $S_n$ — сумма первых n членов прогрессии.

1. Используем данные $b_3 = 1$ и $S_3 = 7$.

Шаг 1: Найдем связь между $b_1$ и $q$ через $b_3 = 1$.

Из формулы для $b_3$:

Это дает:

Следовательно:

Шаг 2: Используем сумму $S_3 = 7$.

Теперь используем формулу для суммы первых трех членов:

Подставим $S_3 = 7$:

Теперь подставим выражение для $b_1$ из предыдущего шага:

Умножим обе части на $q^2$ для удобства:

Теперь умножим обе части на $1 - q$:

Раскроем скобки:

Теперь перенесем все на одну сторону:

Приведем подобные члены:

Это кубическое уравнение, которое нужно решить относительно $q$.

Шаг 3: Решаем кубическое уравнение.

Попробуем решить уравнение с помощью подбора корней. Проверим $q = \frac{1}{2}$.

Подставим $q = \frac{1}{2}$ в уравнение: