Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен -27, а знаменатель 1/3. а) Найдите её шестой член. б) Найдите сумму её первых пяти членов.

Для решения задачи воспользуемся формулами для членов геометрической прогрессии.

а) Найдем шестой член геометрической прогрессии:

Формула для n-го члена геометрической прогрессии:

где:

• $a_n$ — n-й член прогрессии,

• $a_1$ — первый член прогрессии,

• $q$ — знаменатель прогрессии,

• $n$ — номер члена прогрессии.

Для данной задачи:

• $a_1 = -27$,

• $q = \frac{1}{3}$,

• $n = 6$.

Подставим данные в формулу:

Посчитаем:

Тогда:

Ответ: шестой член прогрессии равен $-\frac{1}{9}$.

б) Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

где:

• $S_n$ — сумма первых $n$ членов,

• $a_1$ — первый член прогрессии,

• $q$ — знаменатель прогрессии,

• $n$ — количество членов.

Для данной задачи:

• $a_1 = -27$,

• $q = \frac{1}{3}$,

• $n = 5$.

Подставим данные в формулу:

Посчитаем:

и

Тогда:

Упростим: