Найдите все решения уравнения \( \cos 2x + \sin^2 x = \cos x \). Укажите корни, принадлежащие отрезку \([-π; π]\).

Решим уравнение

Используем тождество $\cos 2x=1-2\sin^2 x$:

Тогда уравнение эквивалентно

Отсюда два случая:

1. $\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$;

2. $\cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни на отрезке $[-\pi;\,\pi]$:

• из $x=2\pi k$: подходит только $x=0$;

• из $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$: подходят $x=-\frac{\pi}{2}$ (при $k=-1$) и $x=\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).

Ответ:

• Все решения: $x=2\pi k$ или $x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$.

• На $[-\pi;\,\pi]$: $x\in\left\{-\frac{\pi}{2},\,0,\,\frac{\pi}{2}\right\}$.