Приведите пример трехзначного натурального числа, больше 500 , которое при делении на 3, 4, 5 дает остаток 2 и в записи которого есть только две различные цифры

Для того чтобы найти трехзначное натуральное число, которое при делении на 3, 4, 5 дает остаток 2 и в записи которого есть только две различные цифры, давайте разберемся поэтапно:

1. Нам нужно число, которое при делении на 3, 4 и 5 дает остаток 2. Это означает, что наше число на 3, 4 и 5 должно быть на 2 больше, чем их кратные. То есть:

   • При делении на 3 остаток 2: $N \equiv 2 \pmod{3}$

   • При делении на 4 остаток 2: $N \equiv 2 \pmod{4}$

   • При делении на 5 остаток 2: $N \equiv 2 \pmod{5}$

2. Поскольку остаток при делении на 3, 4 и 5 одинаков, можно решить эту задачу с помощью системы совместных остатков или найти наименьшее число, которое соответствует этим условиям. Это будет число вида $N = k \cdot \text{LCM}(3,4,5) + 2$, где LCM(3, 4, 5) — это наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 60. Поэтому наше число можно записать как:

   $$N = 60k + 2$$

3. Переходим к поиску подходящих чисел в пределах трехзначных чисел, больше 500. Подставим различные значения для $k$:

   • Для $k = 9$: $N = 60 \times 9 + 2 = 542$

   • Для $k = 10$: $N = 60 \times 10 + 2 = 602$

4. Теперь нужно проверить, в записи этих чисел используются только две разные цифры:

   • Число 542 состоит из цифр 5, 4 и 2 — это три разные цифры.

   • Число 602 состоит из цифр 6, 0 и 2 — это тоже три разные цифры.

5. Теперь попробуем $k = 12$:

   • Для $k = 12$: $N = 60 \times 12 + 2 = 722$, что состоит из цифр 7 и 2 — это две разные цифры.

Таким образом, пример подходящего числа — это 722.

Ответ: 722.