Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.

Давайте обозначим длину прямоугольника как $l$ см, а ширину как $w$ см.

Из условия задачи известно:

1. Периметр прямоугольника равен 70 см. Периметр прямоугольника можно выразить формулой:

   $$P = 2l + 2w = 70$$

   Упростим это выражение:

   $$l + w = 35$$

   Это первое уравнение.

2. Если длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Площадь первоначального прямоугольника равна $S = l \times w$. После изменений длина станет $l - 5$, а ширина — $w + 5$. Площадь нового прямоугольника будет $(l - 5)(w + 5)$. Из условия задачи, разница в площадях равна 50 см², т.е.:

   $$(l - 5)(w + 5) - l \times w = 50$$

   Раскроем скобки:

   $$l \times w + 5l - 5w - 25 - l \times w = 50$$

   Упростим выражение:

   $$5l - 5w - 25 = 50$$

   Переносим числа:

   $$5l - 5w = 75$$

   Разделим обе части на 5:

   $$l - w = 15$$

   Это второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $l + w = 35$

2. $l - w = 15$

Решим эту систему. Складываем оба уравнения:

Теперь подставим найденное значение $l = 25$ в первое уравнение:

Итак, длина первоначального прямоугольника $l = 25$ см, а ширина $w = 10$ см.