Y=x^2-10x+9 исследуйте функцию

Исследую функцию

1. Область определения

Это многочлен второй степени, значит определён при любых значениях $x$:

2. Выделим полный квадрат (удобно для анализа)

В таком виде сразу видно вершину параболы и направление ветвей.

3. Тип графика, вершина и ось симметрии

Это парабола, так как функция квадратичная.

• Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$ ⇒ ветви параболы направлены вверх.

• Вершина параболы находится в точке, где $(x - 5)^2$ минимально, то есть при $x = 5$.

Найдём значение функции в вершине:

Значит вершина:

Ось симметрии параболы:

4. Нули функции (корни уравнения)

Решим уравнение

Найдём дискриминант:

Тогда корни:

Итак, нули функции:

График пересекает ось $Ox$ в точках $(1;0)$ и $(9;0)$.

5. Значение в нуле (пересечение с осью $Oy$)

Подставляем $x = 0$:

Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; 9)$.

6. Возрастание и убывание (монотонность)

Можно использовать производную или рассуждения о параболе.

Производная:

Критическая точка при

• При $x < 5$: возьмём, например, $x = 0$:
  $y'(0) = -10 < 0$ ⇒ функция убывает на $(-\infty; 5)$.

• При $x > 5$: возьмём $x = 10$:
  $y'(10) = 20 - 10 = 10 > 0$ ⇒ функция возрастает на $(5; +\infty)$.

Итак:

• убывает на $(-\infty; 5]$,

• возрастает на $[5; +\infty)$.

7. Экстремум функции

Так как на отрезке до 5 функция убывает, а после 5 возрастает, то в точке $x = 5$ находится минимум.

Максимума нет, так как ветви параболы направлены вверх и значения функции не ограничены сверху.

8. Промежутки знакопостоянства (где функция положительна/отрицательна)

Мы нашли корни: $x = 1$ и $x = 9$. Так как парабола открыта вверх, то:

• при $x < 1$