1)Решите показательные уравнения: a)0,3^5-2x =0,09 b)3^x-2 - 3^x-3 =6 c)2^2x -12*2^x +32=0 d)15^2x+3 =1

a) $0{,}3^{5-2x} = 0{,}09$

Заметим, что
$0{,}3^2 = 0{,}09$, значит $0{,}09 = 0{,}3^2$.

Тогда уравнение перепишем так:

Основания степеней одинаковые и не равны ни 0, ни 1, значит можно приравнять показатели:

Решаем:

Ответ: $x = \dfrac{3}{2}$.

b) $3^{x-2} - 3^{x-3} = 6$

Вынесем общий множитель $3^{x-3}$:

Тогда уравнение:

Делим обе части на 2:

Запишем 3 как степень тройки:

Приравниваем показатели:

Ответ: $x = 4$.

c) $2^{2x} - 12\cdot 2^x + 32 = 0$

Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Введём замену:

Тогда уравнение превращается в квадратное:

Решаем квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

Корни:

1. $t_1 = \dfrac{12 + 4}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$

2. $t_2 = \dfrac{12 - 4}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$

Возвращаемся к замене $t = 2^x$:

1. $2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3$

2. $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $x = 2$ или $x = 3$.

d) $15^{2x+3} = 1$