Решите показательные уравнения: 64^х-8^х-56=0

Для решения уравнения $64^x - 8^x - 56 = 0$, давайте начнем с представления чисел 64 и 8 как степени числа 2:

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

Используя свойства степеней, мы получаем:

Далее, введем замену $y = 2^{3x}$. Тогда $2^{6x} = (2^{3x})^2 = y^2$, и уравнение примет вид:

Это обычное квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Для уравнения $y^2 - y - 56 = 0$, коэффициенты следующие: $a = 1$, $b = -1$, $c = -56$. Подставим их в формулу:

Таким образом, получаем два значения для $y$:

Поскольку $y = 2^{3x}$, и $2^{3x}$ всегда положительное, отрицательное значение $y = -7$ не имеет смысла. Оставляем $y = 8$.

Теперь возвращаемся к нашей замене $y = 2^{3x}$, то есть:

Так как $8 = 2^3$, получаем:

Приравниваем показатели степеней:

Следовательно:

Ответ: $x = 1$.