y=x^3 -3x+19. найдите точку минимума функции

Чтобы найти точку минимума функции $y = x^3 - 3x + 19$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

   Производная функции $y = x^3 - 3x + 19$ будет равна:

   $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$$

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

   $$3x^2 - 3 = 0$$

   Решаем это уравнение:

   $$3x^2 = 3$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

   Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 1$ и $x = -1$.

3. Проверим, где минимум, а где максимум:

   Для этого нужно найти вторую производную функции $y = x^3 - 3x + 19$:

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$$

   Подставляем значения $x = 1$ и $x = -1$:

   • Для $x = 1$:

     $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6 \times 1 = 6$$

     Так как вторая производная положительна, это означает, что в точке $x = 1$ находится минимум.

   • Для $x = -1$:

     $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6 \times (-1) = -6$$

     Поскольку вторая производная отрицательна, точка $x = -1$ является точкой максимума.

4. Находим значение функции в точке минимума:

   Подставим $x = 1$ в исходную функцию:

   $$y(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 19 = 1 - 3 + 19 = 17$$

Таким образом, точка минимума функции $y = x^3 - 3x + 19$ имеет координаты $(1, 17)$.