Решить и найти точку минимума функции y=(x-10)²(x-6)-3.

Для того чтобы решить задачу и найти точку минимума функции $y = (x - 10)^2(x - 6) - 3$, давайте поэтапно разберемся, как это сделать.

1. Найдем производную функции.

Для того чтобы найти экстремумы функции (в том числе минимум), необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Функция имеет вид:

Чтобы найти её производную, будем использовать правило произведения и цепное правило.

Запишем функцию в виде:

где:

• $f(x) = (x - 10)^2$

• $g(x) = (x - 6)$

Теперь найдем производные $f'(x)$ и $g'(x)$:

• $f'(x) = 2(x - 10)$

• $g'(x) = 1$

Применим правило произведения для нахождения производной $y'(x)$:

Подставим наши выражения:

2. Найдем критические точки.

Для нахождения экстремумов приравняем производную $y'(x)$ к нулю:

Вынесем общий множитель $(x - 10)$ за скобки:

Это уравнение равно нулю, если либо $(x - 10) = 0$, либо $2(x - 6) + (x - 10) = 0$.

1. Первое условие $(x - 10) = 0$ даёт $x = 10$.

2. Во втором условии решим уравнение $2(x - 6) + (x - 10) = 0$:

3. Определим характер критических точек.

Теперь нам нужно определить, какая из этих точек является минимумом, а какая — максимумом. Для этого посчитаем вторую производную функции.

Найдем производную от $y'(x) = 2(x - 10)(x - 6) + (x - 10)^2$:

Используя правила дифференцирования, получим:

Упростим это выражение: