Найти производную функции \( F(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \) и \( F''(x) \). С подробным решением.

Для того чтобы найти первую и вторую производные функции $F(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$, будем использовать правила дифференцирования дробных функций.

Шаг 1: Первая производная функции $F'(x)$

Функция $F(x)$ является дробью, поэтому применим правило дифференцирования дробей (правило частного). Если у нас есть функция вида $\frac{u(x)}{v(x)}$, то её производная вычисляется по формуле:

В нашем случае:

• $u(x) = 1 + x^2$

• $v(x) = 1 - x^2$

Для вычисления первой производной $F'(x)$, нам нужно найти производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

• $u'(x) = \frac{d}{dx}(1 + x^2) = 2x$

• $v'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^2) = -2x$

Теперь подставляем эти выражения в формулу для производной:

Упростим числитель:

Таким образом, первая производная функции:

Шаг 2: Вторая производная функции $F''(x)$

Теперь найдем вторую производную $F''(x)$, дифференцируя $F'(x)$. Для этого снова применим правило дифференцирования дроби к функции $F'(x) = \frac{4x}{(1 - x^2)^2}$.

Обозначим:

• $u(x) = 4x$

• $v(x) = (1 - x^2)^2$

Производные этих функций:

• $u'(x) = \frac{d}{dx}(4x) = 4$