Решите уравнение \(\frac{1}{x+6} + \frac{7}{x-3} = \frac{5}{x-6}\), используя переход к уравнению-следствию и проверку корней.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Делители не должны обращаться в ноль:

2. Переход к уравнению-следствию
Умножим обе части исходного равенства

на общий знаменатель $(x+6)(x-3)(x-6)$:

3. Раскрываем скобки и приводим подобные члены

Получаем

Переносим всё в одну сторону:

4. Решаем квадратное уравнение

5. Проверка корней в исходном уравнении

Для $x=12$:
$\displaystyle\frac1{18}+\frac7{9}=\frac{1}{18}+\frac{14}{18}=\frac56,$ $\displaystyle\frac5{6}= \frac56$ — верно.

Для $x=-4$:
$\displaystyle\frac1{2}+\frac7{-7}=\frac12-1=-\frac12,$