Найдите производную функции f(x) = 2x - x² и вычислите её значение при x = 1. С подробным решением.

Чтобы найти производную функции $f(x) = 2x - x^2$, воспользуемся основными правилами дифференцирования.

1. Правило дифференцирования суммы и разности функций:
   Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных. То есть, если $f(x) = g(x) + h(x)$, то $f'(x) = g'(x) + h'(x)$.

2. Правила дифференцирования стандартных функций:

   • Производная от $x^n$ равна $nx^{n-1}$.

   • Производная от $2x$ (где 2 — константа) равна 2.

Теперь применим эти правила к функции $f(x) = 2x - x^2$.

Шаг 1: Дифференцируем каждое слагаемое отдельно:

• Производная от $2x$ — это просто 2, так как производная от $x$ равна 1, а множитель 2 остаётся.

• Производная от $-x^2$ — применяем правило для степени: производная от $x^n$ равна $nx^{n-1}$. В данном случае $n = 2$, и получаем $-2x$.

Шаг 2: Составляем производную:

Итак, производная функции $f(x) = 2x - x^2$ будет:

Шаг 3: Находим значение производной при $x = 1$:

Теперь подставим $x = 1$ в выражение для производной:

Ответ: значение производной функции $f(x) = 2x - x^2$ при $x = 1$ равно 0.