математика плюс 24 задание

Скорее всего ты имеешь в виду 24-е задание по математике из ЕГЭ (профиль) — геометрия с доказательством и вычислениями. Напишу, как я сам к нему подхожу, если бы отвечал на сайте с вопросами и ответами.

1. Что вообще за 24-е задание

Обычно формат такой:

1. Дан чертёж (чаще всего треугольник + какие-то точки, высоты, медианы, биссектрисы, окружности и т.д.).

2. Пункт а) – нужно что-то доказать: параллельность, равенство углов, равенство отрезков, отношение площадей и т.п.

3. Пункт б) – нужно что-то найти (длину, угол, площадь, радиус окружности) по числам из условия, почти всегда используя то, что доказал в пункте а).

То есть задача делится на две части:

• теоретическая (доказательство),

• вычислительная (посчитать по формулам/соотношениям).

2. Общий алгоритм решения 24-го

Я делаю примерно так:

Шаг 1. Очень аккуратный чертёж

• Рисую треугольник/окружность так, как сказано в условии: если сказано «равнобедренный», рисую ровный, если «прямоугольный» — явно отмечаю прямой угол.

• Все точки подписываю большими буквами (A, B, C, D, E...) как в условии.

• Отмечаю:

  • прямые углы (маленький квадратик),

  • равные отрезки (штрихи на сторонах),

  • параллельность (стрелочки),

  • равные углы (дуги и пометки).

Часто уже на этом этапе становится видно, какие треугольники могут быть подобны.

Шаг 2. Для пункта (а): как я строю доказательство

Почти все доказательства в 24-м сводятся к трём основным инструментам:

1. Подобие треугольников

2. Свойства параллельных прямых

3. Свойства специальных линий в треугольнике (медиана, высота, биссектриса, средняя линия) и окружности (радиусы, касательные, хорды и т.д.)

2.1. Подобие — главный герой

Подобие треугольников доказывают по трём стандартным признакам:

• по двум углам (∠–∠)
  Если в одном треугольнике есть два угла, равных двум углам другого, треугольники подобны.

• по стороне и двум прилежащим углам (∠–∠–ст.) – по сути то же самое.

• по пропорциональности сторон и одному углу (ст.–уг.–ст.).

После того как я написал «Треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁», я сразу выписываю отношения сторон:

AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁

И отдельно отмечаю, какие конкретно отношения мне нужны.

2.2. Параллельные прямые

Если в условии есть что-то типа «DE ∥ AB», я сразу использую:

• накрест лежащие углы равны,

• соответственные углы равны,

• односторонние в сумме 180°.

Это почти всегда выводит на подобие треугольников.

2.3. Часто использующиеся факты

Очень полезно помнить наизусть:

• Медиана в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, одновременно:

  • высота,

  • биссектриса,

  • и делит основание пополам.

• В прямоугольном треугольнике:

  • высота из прямого угла делит гипотенузу на два отрезка и порождает три подобных треугольника;

  • $h^2 = p \cdot q$ (высота к гипотенузе),

  • $a^2 = c \cdot p$, $b^2 = c \cdot q$, где $c$ – гипотенуза, $p$ и $q$ – отрезки гипотенузы.

• В окружности:

  • радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной,

  • равные хорды стягивают равные дуги,

  • вписанный угол равен половине соответствующего центрального.

Обычно пункт (а) — это аккуратное применение этих фактов + подобие.

Шаг 3. Для пункта (б): как считать

Здесь уже появляются числа. Общая схема:

1. Использую то, что доказал в (а)
   Например, в (а) показал, что треугольники подобны — значит, в (б) уже не надо это заново доказывать, можно сразу брать пропорции.

2. Выбираю подходящие формулы:

   • теорема Пифагора;

   • формулы площади:

     • $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$,

     • $S = \frac{1}{2}ah_a$,

     • через радиус вписанной/описанной окружности;

   • свойства медиан, высот, биссектрис;

   • формулы для подобия: $k = \frac{сторона_1}{соответствующая_сторона_2}$.

3. Иногда удобно ввести переменную (обозначить неизвестный отрезок через $x$), составить уравнение из пропорций и решить.

3. Пример задачи в стиле 24-го с разбором

Придумаю типичную задачу, чтобы показать ход мыслей.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC = 6$, $BC = 8$.
Из вершины $C$ опустили высоту $CD$ на гипотенузу $AB$.
а) Докажите, что $\triangle ADC \sim \triangle CDB \sim \triangle ABC$.
б) Найдите длину высоты $CD$ и отрезков $AD$ и $DB$.

Чертёж

• Рисую прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $C$ – прямой.

• Сторону $AB$ – гипотенуза.

• Из точки $C$ опускаю перпендикуляр к $AB$, точка пересечения – $D$.

Пункт (а): доказательство подобия трёх треугольников

У нас есть три треугольника:

• большой $\triangle ABC$,

• левый $\triangle ADC$,

• правый $\triangle CDB$.

1. Сначала смотрю на $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

   • В обоих есть прямой угол:

     • $\angle C = 90^\circ$ в $\triangle ABC$,

     • $\angle ADC = 90^\circ$ (потому что $CD$ – высота).

   • Они также делят общий угол при вершине $A$:

     • $\angle A$ общий для треугольников $ABC$ и $ADC$.

   Значит, в треугольниках есть два равных угла:

   • $\angle C = \angle ADC = 90^\circ$,

   • $\angle A$ – общий.

   Следовательно, по признаку угол–угол:

   $$\triangle ABC \sim \triangle ADC.$$

2. Теперь $\triangle ABC$ и $\triangle CDB$.

   • Опять же:

     • $\angle C = 90^\circ$ в треугольнике $ABC$,

     • $\angle CDB = 90^\circ$ в треугольнике $CDB$.

   • Общий угол – теперь при вершине $B$:

     • $\angle B$ – общий.

   Значит:

   $$\triangle ABC \sim \triangle CDB \quad \text{по двум углам}.$$

3. Из того, что оба маленьких треугольника подобны большому, следует, что они подобны и между собой:

   $$\triangle ADC \sim \triangle CDB \sim \triangle ABC.$$

Пункт (а) сделан.

Пункт (б): находим длины

У нас известны катеты прямоугольного треугольника:

• $AC = 6$