В 6 а классе в четверг 5 уроков: математика, информатика, русский язык, английский, физкультура. Сколько всего можно составить вариантов расписания на четверг? Сколько имеется вариантов расписания при условии, что физкультура — последний урок? Сколько имеется вариантов расписания при условии, что физкультура — последний, а математика — первый урок?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем каждый из вопросов поэтапно.

1. Общее количество вариантов расписания:

   У нас есть 5 уроков: математика, информатика, русский язык, английский и физкультура. Чтобы узнать, сколько всего вариантов расписания, нужно просто посчитать, сколько способов можно расположить эти 5 предметов в расписании. Это задача на перестановки 5 элементов, то есть количество вариантов равно факториалу от 5 (обозначается 5!):

   $$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

   Итак, всего можно составить 120 вариантов расписания.

2. Количество вариантов расписания, при условии, что физкультура — последний урок:

   Если физкультура уже стоит на последнем месте, то нам нужно расположить остальные 4 предмета (математика, информатика, русский язык, английский) на первых четырех уроках. Количество способов расставить 4 предмета на 4 урока равно 4!:

   $$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

   Таким образом, если физкультура — последний урок, то существует 24 варианта расписания.

3. Количество вариантов расписания, при условии, что физкультура — последний, а математика — первый урок:

   Теперь, если физкультура уже стоит на последнем месте, а математика — на первом, то нам остается расставить только 3 предмета (информатика, русский язык и английский) на 3 оставшихся урока. Количество способов расставить эти 3 предмета равно 3!:

   $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

   Таким образом, если физкультура — последний урок, а математика — первый, то существует 6 вариантов расписания.

Итак, ответы:

• Всего вариантов расписания: 120.

• Вариантов с физкультурой на последнем уроке: 24.

• Вариантов с физкультурой на последнем и математикой на первом: 6.