Доказать, что числа 260 и 117 не взаимно простые.

Достаточно найти их общий делитель больше 1. Сделаем это двумя способами.

1) Алгоритм Евклида.
$260 = 117\cdot 2 + 26$.
$117 = 26\cdot 4 + 13$.
$26 = 13\cdot 2 + 0$.
Последний ненулевой остаток — $13$. Значит, $\gcd(260,117)=13>1$, то есть числа не взаимно простые.

2) Разложение на множители.
$260=2^2\cdot 5\cdot 13$,
$117=3^2\cdot 13$.
Общий простой множитель — $13$. Следовательно, $\gcd(260,117)=13$, и числа не взаимно простые.