Корень из 1 - х + корень из 1 + х = 1

Решений нет.

Почему: рассматриваем действительные $x$, для которых определены корни, т.е. $x\in[-1,1]$. Обозначим

Тогда уравнение — это $a+b=1$. Возведём в квадрат:

Но $a^2=1-x,\; b^2=1+x$, значит

Однако $a\ge 0,\; b\ge 0$, следовательно $ab\ge 0$ — противоречие. Значит, действительных решений нет.

То же видно из анализа функции

Она чётная и вогнутая (вторая производная отрицательна), максимум при $x=0$: $f(0)=2$, а минимум на концах: $f(\pm1)=\sqrt2\approx1{,}414$. Следовательно, $f(x)\in[\sqrt2,2]$ и равняться 1 не может.