Постройте график функции: f(x) = |x² - 2x - 3|

Решение.

1. Внутренняя квадратичная функция:
   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$. Нули при $x=-1$ и $x=3$.

2. Знак:

• при $x\le -1$ и $x\ge 3$ выражение $(x^2-2x-3)\ge0$;

• при $-1$ — отрицательно.

3. Опишем модуль покусочно:

4. Ключевые точки и вид:

• Точки пересечения с осью $Ox$: $(-1,0)$ и $(3,0)$.

• Вершина исходной параболы $x^2-2x-3$ — при $x=1$, значение $-4$; после модуля получаем максимум $(1,4)$ на «среднем» участке.

• На $(-\infty,-1]$ и $[3,+\infty)$ — обычная вверх открытая парабола $x^2-2x-3$.

• На $[-1,3]$ — отражённая вверх ветвь $-x^2+2x+3$. В точках $x=-1$ и $x=3$ график имеет «излом» (меняется формула).

Итоговый график показан на рисунке: слева и справа — ветви вверх, между $-1$ и $3$ — дуга вниз с максимумом $4$ при $x=1$.