Помогите, пожалуйста! Докажите, что функция y = f(x) является возрастающей.

Обычно «доказать, что $f$ возрастает» делают через теорему Лагранжа (о среднем значении). Ниже — стандартный шаблон доказательства.

Утверждение. Пусть $f$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и для всех $x\in(a,b)$ выполнено $f'(x)\ge 0$. Тогда $f$ — неубывающая (возрастающая в широком смысле) на $(a,b)$. Если где-то $f'(x)>0$, то на любом отрезке, где производная $\ge c>0$, функция строго возрастает.

Доказательство. Возьмём любые $x_1$ из $(a,b)$. По теореме Лагранжа существует $c\in(x_1,x_2)$ такое, что

Знак разности $x_2-x_1$ положителен, а по условию $f'(c)\ge 0$. Отсюда $f(x_2)-f(x_1)\ge 0$, то есть $f(x_2)\ge f(x_1)$. Так для любых $x_1$, следовательно, $f$ неубывающая. Если дополнительно $f'(x)\ge c>0$ на всём рассматриваемом промежутке, то

и $f$ строго возрастает.

Замечание. Часто признак $f'(x)\ge 0$ удобно проверять, представляя производную в «явно неотрицательном» виде, например $f'(x)=g(x)^2$ или $f'(x)=e^{h(x)}\cdot q(x)^2$ и т. п. Тогда вывод о монотонности следует сразу из доказанного критерия. Если производная не существует в отдельных точках, но $f$ непрерывна и $f'(x)\ge 0$ почти всюду, то достаточно абсолютной непрерывности $f$ для того же вывода (по формуле Ньютона–Лейбница).