Известно, что x+y/x-y + x-y/x+y=3. Найдите значение выражения x2+y2/x2-y2 + x2-y2/x2+y2

Ответы на вопрос

Отвечает Смирнов Евгений.

Дано следующее уравнение:

\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = 3

Нам нужно найти значение выражения:

\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}

Начнем с того, что рассмотрим выражение в левой части уравнения. Приведем дроби к общему знаменателю:

\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{(x-y)(x+y)}

Рассчитаем числитель:

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

Сложим их:

(x+y)^2 + (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2

Теперь числитель выглядит так:

2x^2 + 2y^2

Знаменатель:

(x-y)(x+y) = x^2 - y^2

Таким образом, исходное уравнение можно переписать как:

\frac{2(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2} = 3

Умножим обе стороны уравнения на $x^2 - y^2$ :

2(x^2 + y^2) = 3(x^2 - y^2)

Распределим множители:

2x^2 + 2y^2 = 3x^2 - 3y^2

Переносим все термины с $x^2$ и $y^2$ на одну сторону:

2x^2 - 3x^2 + 2y^2 + 3y^2 = 0

Это упрощается до:

-x^2 + 5y^2 = 0

Или:

x^2 = 5y^2

Теперь подставим $x^2 = 5y^2$ в выражение, которое нужно найти:

\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос