Решить уравнение: корень(2х+3) + корень(х-3) = 0

Решим уравнение

1. Область определения

Корни существуют только при неотрицательных подкоренных выражениях:

1. $2x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\dfrac{3}{2}$,

2. $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$.

Оба условия должны выполняться одновременно, значит

Дальше рассматриваем уравнение только при $x \ge 3$.

2. Свойство корней

Для любых действительных $x$ из области определения:

• $\sqrt{2x+3} \ge 0$,

• $\sqrt{x-3} \ge 0$,

то есть каждая из этих функций принимает только неотрицательные значения. Тогда их сумма тоже неотрицательна:

Чтобы сумма двух неотрицательных чисел была равна нулю, нужно, чтобы каждое из них было равно нулю:

Решим каждое:

1. $\sqrt{2x+3} = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3}{2}$,

2. $\sqrt{x-3} = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Получаем два разных значения $x$, но они должны выполняться одновременно, чего быть не может. Поэтому одновременно обнулить оба корня нельзя.

3. Проверка возможных кандидатов

Иногда ученики по привычке всё равно проверяют найденные значения:

• При $x = -\dfrac{3}{2}$: второй корень $\sqrt{x-3} = \sqrt{-\dfrac{3}{2}-3}$ вообще не существует в действительных числах. Значит, $x = -\dfrac{3}{2}$ не принадлежит области определения.

• При $x = 3$:

  $$\sqrt{2\cdot 3 + 3} + \sqrt{3 - 3} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3 \ne 0.$$

  То есть $x = 3$ уравнение тоже не удовлетворяет.

4. Вывод

Сумма двух квадратных корней не может быть отрицательной, а равенство нулю в данном случае недостижимо. Поэтому:

Уравнение $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x-3} = 0$ не имеет действительных решений.