решить уравнение :cos^2x+6sinx-6=0

Решим уравнение

1. Используем основное тригонометрическое тождество:

   $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x.$$

   Подставим в уравнение:

   $$1 - \sin^2 x + 6\sin x - 6 = 0.$$

2. Упростим выражение:

   $$-\sin^2 x + 6\sin x - 5 = 0.$$

   Умножим всё уравнение на $-1$, чтобы было привычнее:

   $$\sin^2 x - 6\sin x + 5 = 0.$$

3. Введём замену:

   $$t = \sin x.$$

   Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$t^2 - 6t + 5 = 0.$$

4. Найдём корни квадратного уравнения:

   $$D = (-6)^2 - 4\cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.$$ $$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}.$$

   Получаем:

   $$t_1 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5,$$ $$t_2 = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$

5. Возвращаемся к $\sin x$:

   • $\sin x = 5$ — невозможно, так как $|\sin x| \leq 1$.

   • $\sin x = 1$ — это допустимое значение.

6. Решаем уравнение $\sin x = 1$.

   $\sin x = 1$ достигается при

   $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: