Доказать справедливость неравенства:
x²-2x+1/x²-2x+2≥0

Для того чтобы доказать неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 2x + 2} \geq 0$, начнем с упрощения и анализа выражения.

1. Упрощение числителя: Числитель можно упростить:

   $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2.$$

   Таким образом, выражение становится:

   $$\frac{(x - 1)^2}{x^2 - 2x + 2}.$$

2. Анализ знаменателя: Теперь рассмотрим знаменатель $x^2 - 2x + 2$. Мы можем записать его в виде:

   $$x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1.$$

   Это выражение всегда положительно, так как $(x - 1)^2$ неотрицательно и добавление 1 делает его строго положительным для всех $x$.

3. Анализ всего выражения: Теперь подставим упрощенные части в неравенство:

   $$\frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2 + 1} \geq 0.$$

   Поскольку числитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен (он равен нулю, когда $x = 1$), а знаменатель $(x - 1)^2 + 1$ всегда положителен, это значит, что дробь $\frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2 + 1}$ всегда неотрицательна.

4. Условия равенства: Неравенство выполняется с равенством в точке $x = 1$, где $(x - 1)^2 = 0$. В других случаях, когда $x \neq 1$, дробь будет положительной.

5. Вывод: Таким образом, мы доказали, что неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 2x + 2} \geq 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Эти шаги показывают, что неравенство справедливо во всех случаях.