2sin(π + x) * sin(π/2 + x) = sin x, и найти корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π; -4π].

Рассмотрим уравнение:
$2\sin(\pi + x) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin x.$

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить выражение.

1. Упростим первый множитель: $\sin(\pi + x)$

По формуле для синуса суммы:
$\sin(\pi + x) = \sin \pi \cdot \cos x + \cos \pi \cdot \sin x.$
Так как $\sin \pi = 0$ и $\cos \pi = -1$, то:
$\sin(\pi + x) = -\sin x.$

2. Упростим второй множитель: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$

По формуле для синуса суммы:
$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos x + \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin x.$
Так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ и $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, то:
$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x.$

3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Получаем:
$2\sin(\pi + x) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 2(-\sin x) \cdot \cos x = -2\sin x \cos x.$

Теперь у нас уравнение:
$-2\sin x \cos x = \sin x.$

4. Упростим уравнение:

Переносим все элементы на одну сторону:
$-2\sin x \cos x - \sin x = 0.$
Выносим $\sin x$ за скобки:
$\sin x (-2 \cos x - 1) = 0.$

5. Решаем уравнение:

У нас два множителя:

1. $\sin x = 0$

2. $-2 \cos x - 1 = 0$

1. $\sin x = 0$

Решением этого уравнения будет:
$x = n\pi,$
где $n$ — целое число.

2. $-2 \cos x - 1 = 0$

Решаем относительно $\cos x$:
$\cos x = -\frac{1}{2}.$
Решения для этого уравнения на интервале $[0; 2\pi]$ будут:
$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi,$
где $k$ — целое число.

6. Найдем корни на промежутке $[-5\pi; -4\pi]$:

Для $\sin x = 0$:

Корни на интервале $[-5\pi; -4\pi]$ — это:
$x = -5\pi,$
так как $n = -5$ и это значение попадает в наш промежуток.

Для $\cos x = -\frac{1}{2}$:

Нам нужно найти такие $k$, чтобы корни $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ попадали в интервал $[-5\pi; -4\pi]$.

• Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$:

  $$k = -3: x = \frac{2\pi}{3} + 2(-3)\pi = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} \quad \text{(принадлежит интервалу)}.$$