Какова вероятность того, что случайно выбранное целое положительное трехзначное число делится на 3 или на 5?

Для того чтобы рассчитать вероятность того, что выбранное наугад число делится на 3 или на 5, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определим общее количество целых положительных трехзначных чисел

Трехзначные числа — это числа от 100 до 999. Чтобы найти общее количество таких чисел, можно вычесть из 999 минимальное возможное трехзначное число (100) и прибавить 1 (так как границы включены).

Таким образом, общее количество трехзначных чисел:

Итак, общее количество целых положительных трехзначных чисел — 900.

Шаг 2: Найдем количество чисел, которые делятся на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Все числа, которые делятся на 3, образуют арифметическую прогрессию: 102, 105, 108, … и так далее.

Первое трехзначное число, которое делится на 3 — это 102. Последнее — 999. Мы можем вычислить количество таких чисел, используя формулу для нахождения количества членов арифметической прогрессии:

где:

• $a_n$ — последний член прогрессии (999),

• $a_1$ — первый член прогрессии (102),

• $d$ — разница между соседними членами прогрессии (3),

• $n$ — количество чисел в прогрессии.

Подставим известные значения и решим для $n$:

Итак, на 3 делится 300 чисел.

Шаг 3: Найдем количество чисел, которые делятся на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Все числа, которые делятся на 5, также образуют арифметическую прогрессию: 100, 105, 110, … и так далее.

Первое трехзначное число, которое делится на 5 — это 100. Последнее — 995. Также используем формулу для нахождения количества членов прогрессии:

где:

• $a_n = 995$,

• $a_1 = 100$,

• $d = 5$.

Подставим значения и решим для $n$:

Итак, на 5 делится 180 чисел.

Шаг 4: Найдем количество чисел, которые делятся и на 3, и на 5

Число делится на 3 и на 5, если оно делится на 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5). Числа, которые делятся на 15, также образуют арифметическую прогрессию: 105, 120, 135, … и так далее.

Первое трехзначное число, которое делится на 15 — это 105. Последнее — 990. Используем ту же формулу для нахождения количества членов прогрессии:

где:

• $a_n = 990$,

• $a_1 = 105$,

• $d = 15$.

Подставим значения и решим для $n$:

Итак, на 15 делится 60 чисел.

Шаг 5: Применим формулу для вероятности

Теперь, чтобы найти вероятность того, что число делится на 3 или на 5, применим формулу для вероятности объединения двух событий:

где:

• $P(3)$ — вероятность, что число делится на 3,

• $P(5)$ — вероятность, что число делится на 5,

• $P(3 \text{ и } 5)$ — вероятность, что число делится на 15.

Число чисел, которое делится на 3 или на 5, будет равно:

Теперь, вероятность того, что выбранное число делится на 3 или на 5:

Ответ:

Вероятность того, что выбранное наугад трехзначное число делится на 3 или на 5, составляет $\frac{7}{15}$, или примерно 0,4667.