Решить уравнение х⁶ = -64. Я так понимаю, что решения нет, или я ошибаюсь? Поясните, пожалуйста.

Уравнение $x^6 = -64$ имеет решения, но они не лежат среди действительных чисел. Давайте разберемся, почему.

Если мы рассматриваем это уравнение в действительных числах, то действительно, оно не имеет решений. Дело в том, что шестая степень любого действительного числа всегда положительна (или равна нулю). То есть, если $x$ — это действительное число, то $x^6 \geq 0$, и не может быть равно отрицательному числу, как, например, -64.

Однако, если мы перейдем к комплексным числам, то уравнение имеет решения. Для этого можно записать -64 в полярной форме.

Число $-64$ можно представить как $64 \cdot e^{i(\pi + 2k\pi)}$, где $k$ — целое число. Это соответствует числу 64 с углом $\pi$ (то есть на отрицательной оси вещественной плоскости).

Для нахождения корней уравнения $x^6 = -64$ нужно извлечь шестой корень из этого числа. Если представить $-64$ в комплексной форме $64 \cdot e^{i(\pi)}$, то корни этого уравнения будут равны:

Так как $\sqrt[6]{64} = 2$, получаем:

Это даёт шесть комплексных решений, которые можно записать в виде:

Эти корни могут быть представлены в виде комплексных чисел с модулями 2 и аргументами, равными углам выше.

Таким образом, у уравнения $x^6 = -64$ есть комплексные решения, но среди действительных чисел их нет.