Найдите отношение объема конуса, описанного около правильной треугольной пирамиды, к объему конуса, вписанного в эту пирамиду.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с вершиной $S$ и основанием — равносторонним треугольником $ABC$. Оба конуса естественно брать с общей вершиной $S$ и с основаниями в плоскости $ABC$, центры кругов — в центре треугольника.

Тогда:

• вписанный конус имеет в основании окружность, вписанную в $\triangle ABC$ (радиус $r$);

• описанный конус имеет в основании окружность, описанную около $\triangle ABC$ (радиус $R$).

Высота у обоих конусов равна высоте пирамиды (расстояние от $S$ до плоскости основания), значит отношение их объёмов равно отношению площадей оснований:

Для равностороннего треугольника со стороной $a$:

откуда

Следовательно,

Ответ: $4$.