Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам. Подробное решение пожалуйста

Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что улитка ползет от одного дерева до другого, и каждый день преодолевает расстояние, которое на одно и то же значение больше, чем в предыдущий день.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть $d$ — расстояние, которое улитка проползла в первый день.
   • Пусть $r$ — увеличение расстояния, которое улитка проходит каждый день.
   • Пусть $n$ — общее количество дней, которые улитка потратила на путь.

2. Составим уравнения:

   • По условию, расстояние, которое улитка проползла в последний день, будет равно $d + (n - 1)r$ (поскольку она увеличивает расстояние на $r$ каждый день).
   • У нас есть информация о расстоянии, пройденном в первый и последний дни. По условию, сумма расстояний первого и последнего дня равна 10 метрам: $$d + (d + (n - 1)r) = 10$$
   • Упростим это уравнение: $$2d + (n - 1)r = 10 \tag{1}$$

3. Сумма всех пройденных расстояний:

   • Общее расстояние, которое улитка преодолела за $n$ дней, можно выразить через сумму арифметической прогрессии: $$S = n \cdot d + \frac{(n - 1)n}{2} \cdot r$$
   • Это равенство также можно записать как: $$S = \frac{n}{2} \cdot (2d + (n - 1)r)$$

4. Зная, что расстояние между деревьями равно 150 метрам, можем написать уравнение:

   $$\frac{n}{2} \cdot (2d + (n - 1)r) = 150 \tag{2}$$

5. Теперь у нас есть система уравнений:

   • Из уравнения (1) выразим $r$: $$(n - 1)r = 10 - 2d \Rightarrow r = \frac{10 - 2d}{n - 1} \tag{3}$$
   • Подставим (3) в (2): $$\frac{n}{2} \cdot \left( 2d + (n - 1) \frac{10 - 2d}{n - 1} \right) = 150$$
   • Упрощаем: $$\frac{n}{2} \cdot (2d + 10 - 2d) = 150$$ $$\frac{n}{2} \cdot 10 = 150$$ $$5n = 150 \Rightarrow n = 30$$

6. Теперь подставим значение $n = 30$ обратно, чтобы найти $d$ и $r$:

   • Подставляем в (1): $$2d + (30 - 1)r = 10 \Rightarrow 2d + 29r = 10$$
   • Подставим (3) для $r$: $$2d + 29 \cdot \frac{10 - 2d}{29} = 10$$
   • Упрощаем: $$2d + 10 - 2d = 10 \Rightarrow 10 = 10$$
   • Это верно для любого $d$, поэтому мы можем выбрать $d$ произвольно, но нам нужно $r$: $$r = \frac{10 - 2d}{29}$$

Таким образом, улитка потратила 30 дней, чтобы преодолеть расстояние в 150 метров.