В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α, а биссектриса угла при основании равна β. Найти длины сторон треугольника.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α, а длина биссектрисы угла при основании — β. Нужно найти длины сторон этого треугольника.

Обозначим:

• $ABC$ — равнобедренный треугольник, где $AB = AC$,

• угол при вершине $\angle BAC = \alpha$,

• биссектриса $BD = \beta$, где $D$ — точка пересечения биссектрисы с основанием $AC$.

1. Используем свойства равнобедренного треугольника и биссектрисы.

Для равнобедренного треугольника угол при вершине $\angle BAC = \alpha$, значит углы при основании равны:

Пусть $AB = AC = x$ — длина боковых сторон треугольника, а $BC = y$ — длина основания.

2. Длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике.

Длина биссектрисы, проведённой из вершины, выражается через стороны треугольника по следующей формуле:

Но для равнобедренного треугольника биссектрисы угол основания можно выразить через половину основания и боковые стороны.