Найдите значение производной функции у=f(х) в точке х0, если f(х)=sin х, х0=-π/4.

Чтобы найти значение производной функции $y = f(x) = \sin(x)$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$, нужно вычислить производную функции $\sin(x)$ и подставить в неё значение $x_0$.

1. Производная функции $\sin(x)$ по $x$ равна $\cos(x)$. Это стандартное правило для производных тригонометрических функций.

   То есть,

   $$f'(x) = \cos(x).$$

2. Теперь подставим $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

   $$f'(-\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}).$$

3. Косинус — чётная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому:

   $$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}).$$

4. Значение $\cos(\frac{\pi}{4})$ известно и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, значение производной функции $f(x) = \sin(x)$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.