Решить уравнение sin2x + sin 6x= cos2x

Для того чтобы решить уравнение $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$, будем использовать тригонометрические тождества и методы упрощения.

1. Используем сумму синусов. Для начала можно воспользоваться формулой суммы синусов:

   $$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

   В нашем случае $A = 6x$, $B = 2x$, подставляем в формулу:

   $$\sin 2x + \sin 6x = 2 \sin\left(\frac{6x + 2x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x - 2x}{2}\right)$$

   Это упрощается до:

   $$\sin 2x + \sin 6x = 2 \sin(4x) \cos(2x)$$

2. Подставляем в исходное уравнение. Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

   $$2 \sin(4x) \cos(2x) = \cos 2x$$

3. Решаем уравнение. Избавимся от множителя $\cos 2x$ (если $\cos 2x \neq 0$):

   $$2 \sin(4x) = 1$$

   Разделим обе части на 2:

   $$\sin(4x) = \frac{1}{2}$$

4. Решаем уравнение для синуса. Мы знаем, что $\sin \theta = \frac{1}{2}$ при $\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Это даёт два возможных значения для $4x$:

   $$4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 4x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$

   Упростим:

   $$4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 4x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$

5. Получаем решения для $x$. Разделим обе части каждого уравнения на 4:

   $$x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$$

6. Не забываем про исключения. Мы исключили случай, когда $\cos 2x = 0$, а это возможно при $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, что даёт:

   $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$

   Эти значения тоже являются решениями.

Таким образом, все решения уравнения: