x6+2x4-3x2=0

Решу это как обычное школьное уравнение.

Дано:

Шаг 1. Вынесем общий множитель

Во всех трёх слагаемых есть $x^2$, выносим его за скобки:

Теперь произведение равно нулю, значит хотя бы один множитель равен нулю:

1. $x^2 = 0$

2. $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$

1) Решим $x^2 = 0$

Отсюда сразу:

Это корень уравнения (фактически с кратностью 2, но обычно просто пишут $x = 0$).

2) Решим $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$

Здесь удобно сделать замену:

Тогда уравнение превратится в квадратное:

Решим его по формуле:

Дискриминант:

Корни:

Получаем:

• $t_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

• $t_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Возвращаемся к $x$:

1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, значит:

   $$x = \pm 1$$

2. Если $t = -3$, то $x^2 = -3$.

   • В вещественных числах это уравнение решений не имеет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

   • В комплексных числах были бы корни:

     $$x = \pm i\sqrt{3}$$

Итог

• Если рассматриваем вещественные корни, то решения уравнения:

  $$x = -1,\; 0,\; 1$$

• Если рассматриваем комплексные корни, то полный набор решений:

  $$x = -1,\; 0,\; 1,\; i\sqrt{3},\; -i\sqrt{3}$$