Найдите точку максимума функции \( F(x) = (x + 7)^2 e^{4 - x} \).

Возьмём производную и найдём критические точки.

$F(x)=(x+7)^2e^{4-x}$.

$F'(x)=e^{4-x}\big(2(x+7)-(x+7)^2\big)=e^{4-x}(x+7)\big(2-(x+7)\big).$

Поскольку $e^{4-x}>0$ для всех $x$, нули производной даются из
$(x+7)\big(2-(x+7)\big)=0\Rightarrow x=-7$ или $x=-5$.

Проверим характер точек по знаку $F'$:

• при $x<-7$: $x+7<0\Rightarrow F'(x)<0$ (убывает);

• при $-7$: $00$ (возрастает);

• при $x>-5$: $x+7>2\Rightarrow F'(x)<0$ (убывает).

Следовательно, в $x=-7$ — локальный минимум, а в $x=-5$ — локальный максимум.

Значение функции в точке максимума:
$F(-5)=(2)^2\,e^{4-(-5)}=4e^{9}.$

Итак, точка максимума (локального): $x=-5$, значение $F(-5)=4e^{9}$.
(Глобального максимума на $\mathbb{R}$ нет, так как $F(x)\to\infty$ при $x\to-\infty$.)