Решите неравенство: \(3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0\). Срочно помогите решить. \(3^{2x+1}\) — это степень.

Решим неравенство $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$.

1. Преобразуем выражение:

   В начале у нас есть степень $3^{2x+1}$, которая выглядит немного сложной. Разделим её на два выражения:

   $$3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}.$$

   Это возможно, потому что $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}$, следовательно, неравенство становится:

   $$3 \cdot 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0.$$

2. Замена переменной:

   Чтобы упростить решение, введем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Тогда $3^{2x} = y^2$, и наше неравенство преобразуется в:

   $$3y^2 - 10y + 3 < 0.$$

3. Решение квадратного неравенства:

   Теперь у нас квадратное неравенство. Решим его с помощью дискриминанта.

   Для квадратного уравнения $3y^2 - 10y + 3 = 0$ находим дискриминант:

   $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64.$$

   Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

   $$y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}.$$

   Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3, \quad y_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

   Таким образом, у нас есть два корня $y = 3$ и $y = \frac{1}{3}$. Поскольку это квадратное неравенство, его решение будет заключаться в том, что $y$ должно быть между этими корнями:

   $$\frac{1}{3} < y < 3.$$

4. Возвращаемся к переменной $x$:

   Напоминаем, что $y = 3^x$. Тогда неравенство $\frac{1}{3} < 3^x < 3$ можно решить следующим образом:

   • Для $3^x > \frac{1}{3}$ получаем $x > -1$, так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

   • Для $3^x < 3$ получаем $x < 1$, так как $3^1 = 3$.

   Следовательно, решение неравенства:

   $$-1 < x < 1.$$

Ответ: $x$ лежит в интервале $(-1, 1)$.