1) К графику функции \( f(x) = x^3 + x + 1 \) в точке с абсциссой \( x = 1 \) проведена касательная. Найдите абсциссу точки графика касательной, ордината которой равна 31. 2) На графике функции \( f(x) = x^2 + x + 5 \) взята точка А. Касательная к графику, проведённая через точку А, наклонена к оси \( OX \) под углом, тангенс которого равен 5. Найдите абсциссу точки А.

Задача 1:

У нас есть функция $f(x) = x^3 + x + 1$, и в точке с абсциссой $x = 1$ проведена касательная. Требуется найти абсциссу точки графика касательной, ордината которой равна 31.

1. Найдем производную функции $f(x)$, чтобы найти угол наклона касательной:

   Функция $f(x) = x^3 + x + 1$.

   Производная функции:

   $$f'(x) = 3x^2 + 1.$$

2. Найдем угол наклона касательной в точке $x = 1$:

   Подставим $x = 1$ в $f'(x)$:

   $$f'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4.$$

   Значит, касательная имеет наклон 4.

3. Найдем уравнение касательной в точке $x = 1$:

   Для нахождения уравнения касательной, используем точку на графике функции и наклон, который мы нашли. Сначала находим значение функции в точке $x = 1$:

   $$f(1) = (1)^3 + (1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.$$

   Таким образом, точка касания — это $(1, 3)$.

   Уравнение касательной будет иметь вид:

   $$y - 3 = 4(x - 1),$$

   где $4$ — наклон касательной, а $(1, 3)$ — точка касания.

   Упростим уравнение:

   $$y - 3 = 4x - 4 \quad \Rightarrow \quad y = 4x - 1.$$

4. Найдем абсциссу точки, в которой ордината касательной равна 31:

   Подставим $y = 31$ в уравнение касательной:

   $$31 = 4x - 1 \quad \Rightarrow \quad 31 + 1 = 4x \quad \Rightarrow \quad 32 = 4x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{32}{4} = 8.$$

   Ответ: абсцисса точки касательной, ордината которой равна 31, равна 8.

Задача 2:

Дана функция $f(x) = x^2 + x + 5$. Касательная к графику функции, проведённая через точку $A$, наклонена к оси $OX$ под углом, тангенс которого равен 5. Требуется найти абсциссу точки $A$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, чтобы узнать угол наклона касательной:

   Функция $f(x) = x^2 + x + 5$.

   Производная функции:

   $$f'(x) = 2x + 1.$$

2. Используем данные задачи для нахождения абсциссы точки $A$:

   У нас есть информация, что касательная наклонена под углом, тангенс которого равен 5. Это означает, что наклон касательной равен 5. Таким образом:

   $$f'(x) = 5.$$

   Подставим это значение в производную $f'(x)$:

   $$2x + 1 = 5.$$

   Решим это уравнение:

   $$2x = 5 - 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{2} = 2.$$

   Ответ: абсцисса точки $A$ равна 2.