Y=(x+2)^2 * e^(3-x) - найдите точку максимума функции!

Для нахождения точки максимума функции $Y = (x + 2)^2 e^{3 - x}$, нужно найти её производную и приравнять её к нулю, а затем проверить, является ли найденная точка точкой максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции

Запишем функцию в виде произведения двух функций:

Для дифференцирования будем использовать правило дифференцирования произведения, которое гласит, что:

Где $u = (x + 2)^2$, а $v = e^{3 - x}$.

Теперь находим производные каждой из функций:

1. Производная $u = (x + 2)^2$:

2. Производная $v = e^{3 - x}$:

Теперь можем записать производную функции $Y$:

Приведем похожие множители:

Шаг 2: Приравняем производную к нулю

Для нахождения критических точек приравниваем $Y'$ к нулю:

Поскольку $e^{3 - x}$ никогда не равно нулю, приравняем к нулю выражение в скобках:

Раскроем скобки и упростим:

Вынесем $-x$ за скобки:

Таким образом, $x = 0$ или $x = -2$.

Шаг 3: Определим характер критических точек

Теперь проверим, какая из этих точек является точкой максимума, а какая — минимумом. Для этого можно использовать вторичную производную или проверить поведение функции на интервалах между критическими точками.

В данном случае проще подставить значения $x = 0$ и $x = -2$ в исходную функцию и проверить, где значение функции больше.

1. Для $x = 0$:

2. Для $x = -2$:

Так как $Y(0) > Y(-2)$, точка $x = 0$ является точкой максимума.

Ответ:

Точка максимума функции $Y = (x + 2)^2 e^{3 - x}$ находится в точке $x = 0$.