Доказать что произведение двух нечетных чисел нечетное число

Нечётное число по определению имеет вид $2k+1$ для некоторого целого $k$.

Пусть $a$ и $b$ — нечетные. Тогда существуют целые $m,n$, что

Перемножим:

Правая часть имеет вид $2q+1$ (где $q=2mn+m+n$ — целое число). Значит, $ab$ — нечетное.

Эквивалентная короткая формулировка в арифметике по модулю 2: нечётные числа сравнимы с 1 по модулю 2, а $1\cdot1\equiv1\pmod{2}$, следовательно произведение двух нечётных — опять нечётное.