Моторная лодка проплыла 70 км от пристани до острова. На обратном пути она увеличила скорость на 4 км/ч и провела в пути на 2 ч меньше.

С какой скоростью плыла лодка от острова до пристани?
Лодка плыла от острова до пристани со скоростью
км/ч.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим скорость лодки на пути от пристани до острова как $v$ км/ч. Таким образом, на обратном пути скорость будет $v + 4$ км/ч.

1. Определим время, затраченное на путь от пристани до острова. Путь от пристани до острова составляет 70 км, поэтому время, затраченное на этот путь, можно выразить как:

   $$t_1 = \frac{70}{v}$$

2. Определим время, затраченное на обратный путь. На обратном пути лодка движется со скоростью $v + 4$ км/ч, поэтому время на обратном пути будет:

   $$t_2 = \frac{70}{v + 4}$$

3. Условие задачи. По условию, на обратный путь лодка потратила на 2 часа меньше:

   $$t_1 - t_2 = 2$$

   Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

   $$\frac{70}{v} - \frac{70}{v + 4} = 2$$

4. Решим уравнение. Умножим обе стороны уравнения на $v(v + 4)$ (чтобы избавиться от дробей):

   $$70(v + 4) - 70v = 2v(v + 4)$$

   Упростим:

   $$280 = 2v^2 + 8v$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$2v^2 + 8v - 280 = 0$$

   Разделим уравнение на 2:

   $$v^2 + 4v - 140 = 0$$

5. Найдем корни уравнения. Используем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576$$

   Находим корни:

   $$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 24}{2}$$

   Корни:

   $$v_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-28}{2} = -14$$

   Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем $v = 10$ км/ч.

6. Найдём скорость на обратном пути. Теперь, когда мы нашли скорость лодки от пристани до острова, можем вычислить скорость на обратном пути:

   $$v + 4 = 10 + 4 = 14 \text{ км/ч.}$$

Таким образом, лодка плыла от острова до пристани со скоростью 14 км/ч.