Как вычислить квадратный корень из 54756 без калькулятора

Коротко: $\sqrt{54756}=234$.

Как я считаю без калькулятора — двумя способами. Оба укладываются в «бумажную математику».

1) Разложение на множители

1. Число чётное: $54756=2\cdot27378=4\cdot13689$.

2. Сумма цифр $1+3+6+8+9=27$, делится на 9 ⇒ $13689=9\cdot1521$.

3. $1521$ — известный квадрат: $39^2=1521$.

4. Значит $54756=4\cdot9\cdot1521=(2^2)\cdot(3^2)\cdot(39^2)=(2\cdot3\cdot39)^2=(234)^2$.

Отсюда $\sqrt{54756}=234$.

2) «Письменное» извлечение (для контроля)

1. Группирую цифры по две справа: $5\ |\ 47\ |\ 56$.

2. Ближайший квадрат к 5 — $2^2=4$. Пишу 2 в корень, вычитаю: $5-4=1$. Сношу «47» → $147$.

3. Удваиваю корень (2) → 4_. Ищу цифру $x$, чтобы $(40+x)\cdot x \le 147$. Беру $x=3$: $43\cdot3=129$ (с $x=4$ уже $44\cdot4=176>147$). Пишу 3: корень «23». Вычитаю $147-129=18$. Сношу «56» → $1856$.

4. Удваиваю «23» → 46_. Ищу $x$, чтобы $(460+x)\cdot x \le 1856$. Пробую $x=4$: $464\cdot4=1856$ — попали точно.

5. Пишу 4: корень «234», остаток 0.

Получилось то же: $\boxed{234}$.