В стране шесть городов: А, Б, В, Г, Д и Е. Их хотят связать пятью авиалиниями так, чтобы из каждого города можно было (быть может, с пересадками) долететь до любого другого. Сколькими различными способами это можно сделать?

Чтобы связать шесть городов — А, Б, В, Г, Д и Е — пятью авиалиниями так, чтобы из любого города можно было (хотя бы с пересадками) добраться до любого другого, нужно обеспечить, чтобы вся сеть была связной и не образовывала изолированных групп городов. Это типичная задача на построение минимального связного графа или дерева.

Обоснование задачи

Для решения задачи достаточно вспомнить несколько ключевых свойств теории графов:

1. Минимальное связное дерево для N вершин содержит ровно $N - 1$ рёбер. Это значит, что для шести городов (N = 6) нам нужно построить граф с 5 рёбрами (авиалиниями), чтобы все города были связаны.

2. Существует множество деревьев (то есть связных графов без циклов), которые можно построить для фиксированного количества городов, но нас интересует количество всех возможных таких графов.

3. Для связного графа, состоящего из N вершин и $N - 1$ рёбер, где все вершины связаны, без циклов, существует формула для подсчёта количества различных деревьев.

Формула Кэли для подсчета деревьев

Формула Кэли гласит, что количество различных деревьев, которые можно построить на $N$ вершинах, равно $N^{N-2}$.

В данном случае:

• $N = 6$,
• тогда общее количество возможных связных деревьев будет равно $6^{6-2} = 6^4$.

Вычисление

Преобразуем выражение $6^4$:

Таким образом, существует 1296 различных способов связать шесть городов пятью авиалиниями так, чтобы из любого города можно было добраться до любого другого.