1) Найдите декартовы координаты заданной точки: а) М(-3π) б) М(11π/4) в) М(-5π/3) г) М(31π/2) 2) Найдите декартовы координаты заданной точки: а) М(-41π/6) б) М(117π) в) М(-13π/3) г) М(126π)

1. Чтобы найти декартовы координаты точек, нужно привести углы, заданные в виде кратных числа π, к углам, лежащим в пределах от 0 до 2π (или другого подходящего диапазона, в зависимости от контекста задачи). На плоскости с полярной системой координат угол определяет положение точки относительно оси абсцисс, а радиус — расстояние от центра.

а) $M(-3\pi)$

• Угол $-3\pi$ можно привести к углу в пределах от 0 до $2\pi$. Для этого прибавим $4\pi$ (поскольку угол на $2\pi$ циклится):
  $-3\pi + 4\pi = \pi$.
  Таким образом, точка находится на прямой, соответствующей углу $\pi$, то есть на оси абсцисс, но в противоположном направлении от начала координат (по оси $x$).

б) $M(11\pi/4)$

• Угол $11\pi/4$ можно привести к углу в пределах $0$ до $2\pi$. Для этого нужно вычесть $2\pi$ (или $8\pi/4$), чтобы угол попал в этот диапазон:
  $11\pi/4 - 8\pi/4 = 3\pi/4$.
  Точка будет располагаться на угле $3\pi/4$, то есть в второй четверти.

в) $M(-5\pi/3)$

• Угол $-5\pi/3$ можно привести к углу в пределах $0$ до $2\pi$. Для этого добавим $2\pi$ (или $6\pi/3$):
  $-5\pi/3 + 6\pi/3 = \pi/3$.
  Точка будет находиться на угле $\pi/3$, в первой четверти.

г) $M(31\pi/2)$

• Угол $31\pi/2$ можно привести к углу в пределах $0$ до $2\pi$. Для этого нужно вычесть $2\pi$ несколько раз, пока угол не попадет в нужный диапазон. Каждое $2\pi$ — это $4\pi/2$, поэтому нужно вычесть $12\pi/2$:
  $31\pi/2 - 12\pi/2 = 19\pi/2$.
  Вычитаем ещё $4\pi$:
  $19\pi/2 - 8\pi/2 = 11\pi/2$.
  Еще $8\pi/2$:
  $11\pi/2 - 8\pi/2 = 3\pi/2$.
  Угол $3\pi/2$ соответствует точке на оси $y$, внизу.

2. Найдем декартовы координаты для углов из второго набора.

а) $M(-41\pi/6)$

• Угол $-41\pi/6$ нужно привести к диапазону $0$ до $2\pi$. Для этого прибавим $48\pi/6$ (это 8 полных циклов):
  $-41\pi/6 + 48\pi/6 = 7\pi/6$.
  Точка будет располагаться на угле $7\pi/6$, в третьей четверти.

б) $M(117\pi)$

• Угол $117\pi$ можно привести к углу в пределах $0$ до $2\pi$, вычтя кратные $2\pi$. Поскольку $117\pi$ — это $58 \times 2\pi + \pi$, то угол $117\pi$ соответствует углу $\pi$.
  Точка будет на оси абсцисс, но в противоположном направлении от начала координат (по оси $x$).

в) $M(-13\pi/3)$

• Угол $-13\pi/3$ можно привести к углу в пределах $0$ до $2\pi$, добавив $18\pi/3$:
  $-13\pi/3 + 18\pi/3 = 5\pi/3$.
  Точка будет на угле $5\pi/3$, в четвертой четверти.

г) $M(126\pi)$

• Угол $126\pi$ можно привести к углу в пределах $0$ до $2\pi$, вычитая $126\pi - 2\pi \times 63 = 0$.
  Угол $0$ соответствует точке на положительном участке оси $x$.

Таким образом, для каждого случая мы получили угол, который определяет положение точки на круге, и можно использовать его для дальнейших вычислений в полярных или декартовых координатах.